Funciones multi-simétricas y sus aplicaciones

Resumen

Este curso ofrece una introducción al estudio de las funciones simétricas, comenzando desde su definición como polinomios invariantes bajo la acción del grupo simétrico. Se exploran las principales familias de funciones simétricas, su estructura algebraica y sus conexiones con otras áreas. Finalizamos con una introducción al anillo de funciones multisimétricas y algunas aplicaciones.

Programa

• Simetría y acciones del grupo simétrico: acción del grupo \(S_n\) sobre \(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]\) por permutación de variables. Polinomios invariantes: definición de función simétrica. Ejemplos de funciones simétricas. El anillo de funciones simétricas \(\operatorname{Sym}_n = \mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]^{S_n}\).
• Bases del anillo de funciones simétricas: funciones elementales \(e_r\), homogéneas \(h_r\), de potencias \(p_r\) y monomiales \(m_{\lambda}\). Estructura algebraica de \(\operatorname{Sym}_n = \mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]^{S_n}\). Teorema fundamental de las funciones simétricas.
• Particiones y funciones de Schur: particiones, diagramas de Ferrers y tablas de Young. Construcción de funciones de Schur \(s_{\lambda}\).
• Anillo de funciones multisimétricas: construcción, ejemplos y aplicaciones. Funciones multisimétricas elementales.

Referencias

1. R. Díaz y E. Pariguan (2015). Quantum product of symmetric functions. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. DOI: 10.1155/2015/476926.
2. I. G. Macdonald (1998). Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford University Press.
3. B. Sagan (2001). The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions. Springer.
4. F. Vaccarino (2005). The ring of multisymmetric functions. Annales de l’Institut Fourier, 55(3), 717–731.

Evaluación

La evaluación del curso se realizará de forma continua a través de la participación activa de los estudiantes en la resolución de problemas. En cada sesión, se propondrán ejercicios cuya solución deberá ser presentada y discutida oralmente por los estudiantes, de manera individual o en pequeños grupos. Esta modalidad busca fomentar el razonamiento matemático, la claridad en la exposición de ideas y la apropiación de los conceptos fundamentales del curso, promoviendo un ambiente de diálogo y construcción colectiva del conocimiento.

Una introducción a reconocimiento de patrones

Resumen

Este curso tiene como objetivo servir de introducción fundamentada de los principios teóricos y matemáticos que subyacen al reconocimiento de patrones, incluyendo clasificación, regresión, agrupamiento, reducción de dimensionalidad y evaluación de modelos. El curso tiene como propósito brindar las herramientas necesarias para modelar, analizar e interpretar estructuras en datos mediante técnicas estadísticas, algebraicas y computacionales, fomentando la capacidad de aplicar dichos conocimientos en contextos interdisciplinarios y en investigación matemática avanzada.

Programa

Tema 1 Preliminares probabilísticos y optimización.
Tema 2 El problema de clasificación, clasificación óptima, el clasificador de Bayes, el error de Bayes, clasificación minimax.
Tema 3 Clasificación basada en muestras, reglas de clasificación, consistencia.
Tema 4 Clasificación paramétrica, discriminante lineal y cuadrático, clasificación logística.
Tema 5 Clasificación no paramétrica, vecinos más cercanos, teoremas de Cover-Hart y de Stone.
Tema 6 Máquinas de vectores de soporte (SVM), redes neuronales, árboles de decisión.
Tema 7 Estimación de error para clasificación, reglas para la estimación de error, comportamiento de la estimación de error, validación cruzada, Bootstrap.
Tema 8 Complejidad de la clasificación, teoría de Vapnik-Chervonenkis, métodos de selección de modelos.
Tema 9 Regresión óptima, regresión basada en muestras, regresión paramétrica, regresión usando SVM.

Referencias

1. D. Bertsekas. Nonlinear Optimization. Athenas Scientific, Nashua, USA, 1999.
2. Christopher M. Bishop. Pattern recognition and machine learning. Information Science and Statistics. Springer, New York, NY, 2006.
3. Ulisses M. Braga-Neto. Fundamentals of pattern recognition and machine learning. Springer, Cham, 2^nd edition, 2024.
4. C. J. C. Burges. A tutorial on support vector machines for pattern recognition. Data Mining and Knowledge Discovery, 2:121–167, 1998.

Evaluación

Se espera hacer una evaluación el último día.

Introducción a la dinámica simbólica: espacios shift de tipo finito y sofic

Resumen

El objetivo del curso es servir de introducción a los objetivos que son tratados clásicamente en espacios de símbolos: espacios shift de tipo finito y sofic. Ambas nociones han tenido tal madurez que están presentes en importantes asuntos tratados en disciplinas cientificas y tecnológicas dentro y fuera de la matemática. El curso está destinado a estudiantes de postgrado, se requieren conocimientos básicos en topología.

Programa

Tema 1 Preliminares topológicos y espacios de símbolos.
Tema 2 Espacios shift, ejemplos, caracterizaciones.
Tema 3 Morfismos de espacios shift. Caracterizaciones (Teorema de Curtis – Hedlund – Lyndon) y propiedades básicas.
Tema 4 Espacios shift de tipo finito. Ejemplos y caracterizaciones. Grafos dirigidos y espacios shift.
Tema 5 Espacios sofic. Definición vía grafos dirigidos etiquetados. Ejemplos y caracterizaciones.
Tema 6 Ideas para tratar expenciones de las nociones tratadas.
Tema 7 Entropía de espacios shift. Teorema de Perron – Frobenius y cálculo de entropía de espacios shift.

Referencias

1. Bruce P. Kitchens. Symbolic Dynamics: One – sided, Two – sided and Countable State Markov Shifts. Springer Universitext, (1998).
2. Petr Kurka. Topological and Symbolic Dynamics. Cours Spécialisés 11. Sociéte Mathémati- ques de France (2003).
3. Douglas Lind and Brian Marcus. An Introduction to Symbolic Dynamics and Coding. Cambridge University Press. Second Edition (2021).
4. Marcelo Sobottka. Some Notes on the Classification of Shift Spaces: Shifts of Fini- te Type; Sofic Shifts; and Finitely Defined Shifts. Bull Braz Math Soc, New Series https://doi.org/10.1007/s00574-022-00292-x (2022).

Evaluación

Se espera hacer una evaluación el último día.